Question

（2010•宿州三模）（理）市教育局举行科普知识竞赛，参赛选手过第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，第三个问题回答正确得20分，若回答错误均得0分，总分不少于30分为过关．如果某位选手回答前两个问题正确的概率都是

4

5

，回答第三个问题正确的概率是

3

5

，且各题回答正确与否互不影响，记这位选手回答这三个问题的总得分为X．
（I）求这位选手能过第一关的概率；
（Ⅱ）求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）“这位选手能过第一关”即得30分和40分两类；利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出事件的概率．
（II）求出随机变量X可取的值；利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出随机变量取各个值的概率；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x的期望．

解答：解：（Ⅰ）设“这位选手能过关”为事件A，
则P（A）=P（X=30）+P（X=40）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

+

4

5

×

4

5

×

3

5

=

72

125

．（5分）
（II）X可能取值为0，10，20，30，40．分布列为
P（X=0）=(1-

4

5

)×(1-

4

5

)×(1-

3

5

)=

2

125

P（X=10）=

C

1 2

×

4

5

×(1-

4

5

)×(1-

3

5

)=

16

125

P（X=20）=

4

5

×

4

5

×(1-

3

5

)+(1-

4

5

)×(1-

4

5

)×

3

5

=

35

125

P（X=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

P（X=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

所以x的分布列为

X	0	10	20	30	40
P	2 125	16 125	35 125	24 125	48 125

EX=0×

2

125

+10×

16

125

+20×

35

125

+30×

24

125

+40×

48

125

=28．（12分）

点评：本题考查互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式、考查随机变量的分布列的求法、考查随机变量的期望公式．