摘要：9．如图.在梯形ABCD中.AB∥CD.∠ADC＝90°. 3AD＝DC＝3.AB＝2.E是DC上的点.且满足 DE＝1.连结AE.将△DAE沿AE折起到△D1AE 的位置.使得∠D1AB＝60°.设AC与BE的交点为O. (1)试用基向量..表示向量, (2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值, (3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直?并说明理由． 解:(1)∵AB∥CE.AB＝CE＝2. ∴四边形ABCE是平行四边形.∴O为BE的中点． ∴＝-＝-(+) ＝--. (2)设异面直线OD1与AE所成的角为θ. 则cosθ＝|cos〈.〉|＝||. ∵·＝(--)· ＝·-·-||2 ＝1××cos45°-×2××cos45°-×()2 ＝-1. ||＝ ＝. ∴cosθ＝||＝||＝. 故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为. (3)平面D1AE⊥平面ABCE.证明如下: 取AE的中点M.则＝-＝-. ∴·＝(-)· ＝||2-· ＝×()2-1××cos45°＝0. ∴⊥.∴D1M⊥AE. ∵·＝(-)· ＝·-· ＝××2×cos45°-1×2×cos60°＝0. ∴⊥.∴D1M⊥AB. 又AE∩AB＝A.AE.AB⊂平面ABCE. ∴D1M⊥平面ABCE. ∵D1M⊂平面D1AE. ∴平面D1AE⊥平面ABCE.

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