摘要：4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式 ＝ , ＝ , ＝ . ＝ ＝ . ＝ ＝ . ＝ (2) 导数的四则运算 ＝ ＝ ＝ .＝ (3) 复合函数的导数 设在点x处可导.在点处可导.则复合函数在点x处可导. 且＝ .即. 典型例题 例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解 ∵Δy= 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 解 例2. 求下列各函数的导数: (1) (2) (3) (4) 解 (1)∵ ∴y′ (2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6.∴y′=3x2+12x+11. 方法二 = = =+=3x2+12x+11. (3)∵y= ∴ (4) . ∴ 变式训练2:求y=tanx的导数. 解 y′ 例3. 已知曲线y= (1)求曲线在x=2处的切线方程, 的切线方程. 解 (1)∵y′=x2,∴在点P(2.4)处的切线的斜率k=|x=2=4. ∴曲线在点P(2.4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)设曲线y=与过点P(2.4)的切线相切于点. 则切线的斜率k=|=. ∴切线方程为即 ∵点P(2.4)在切线上.∴4= 即∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切.则k= . 答案 2或 例4. 设函数 .曲线在点处的切线方程为y=3. (1)求的解析式, (2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值.并求出此定值. (1)解 . 于是解得或 因为a,bZ.故 (2)证明 在曲线上任取一点． 由知.过此点的切线方程为 ． 令x=1.得.切线与直线x=1交点为． 令y=x.得.切线与直线y=x的交点为． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为． 所以.所围三角形的面积为定值2. 变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0.1).且在x=1处的切线方程为y=x-2.求y=f(x)的解析式. 解 ∵f.∴e=1. ① 又∵f=f(x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0.d=0. ② ∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2.∴可得切点为. ∴a+c+1=-1. ③ ∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c.∴4a+2c=1. ④ 由③④得a=.c=. ∴函数y=f(x)的解析式为 小结归纳

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