Question

我们把形如y=f（x）^φ（x）的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=φ（x）lnf（x），两边求导数，得

y′

y

=φ′(x)lnf(x)+φ(x)

f′(x)

f(x)

，于是y′=f(x)φ(x)[φ′(x)lnf(x)+φ(x)

f′(x)

f(x)

]，运用此方法可以探求得函数y=x

1

x

的一个单调递增区间是（　　）

• A．（e，4）
• B．(e-

  1

  e

  ，e+

  1

  e

  )
• C．（e-1，e+1）
• D．（0，e）

Answer 1

分析：仔细分析题意，找出f（x），φ（x），然后依据题意求函数的导数，判断导数的单调性，求出单调增区间即可．

解答：解：仿照题目给定的方法，f（x）=x，φ（x）=

1

x

，
所以f′（x）=1，φ′（x）=-

1

x2

，
由于y′=f(x)φ(x)[φ′(x)lnf(x)+φ(x)

f′(x)

f(x)

]，
所以y′=x 

1

x

(-

1

x2

lnx+

1

x

•

1

x

)=x 

1

x

•

1-lnx

x2

，
∵x＞0，∴x 

1

x

＞0，x²＞0，
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0，解得：x∈（0，e）
故y=x 

1

x

的一个单调递增区间为：（0，e），
故选：D．

点评：本题考查对数的运算性质，导数的运算，函数的单调性与导数的关系，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．