摘要：例1在四边形ABCD中.·＝·＝·＝·.试证明四边形ABCD是矩形 分析:要证明四边形ABCD是矩形.可以先证四边形ABCD为平行四边形.再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考 证明:设＝a.＝b.＝c.＝d.则 ∵a+b+c+d＝O ∴a+b＝-(c+d) 两边平方得 |a|2+2a·b+|b|2＝|c|2+2c·d+|d|2. 又a·b＝c·d ∴|a|2+|b|2＝|c|2+|d|2(1) 同理|a|+|d|2＝|b|2+|c|2(2) 由得|a|2＝|c|2.|d|2＝|b|2. ∴a＝c.d＝b. 即AB＝CD.BC＝DA ∴四边形ABCD是平行四边形 于是＝-.即a＝-c. 又a·b＝b·c.故a·b＝b·(-a) ∴a·b＝O ∴⊥ ∴四边形ABCD为矩形 评述:向量具有二重性.一方面具有“形 的特点.另一方面又具有一套优良的运算性质.因此.对于某些几何命题的抽象的证明.自然可以转化为向量的运算问题来解决.要注意体会 例2设坐标平面上有三点A.B.C.i.j分别是坐标平面上x轴.y轴正方向的单位向量.若向量＝i-2j.＝i+mj.那么是否存在实数m.使A.B.C三点共线 分析:可以假设满足条件的m存在.由A.B.C三点共线∥ 存在实数λ.使＝λ.从而建立方程来探索 解法一:假设满足条件的m存在.由A.B.C三点共线.即∥. ∴存在实数λ.使＝λ. i-2j＝λ(i+mj). ∴m＝-2 ∴当m＝-2时.A.B.C三点共线 解法二:假设满足条件的m存在.根据题意可知:i＝(1.O).j＝(O.1) ∴＝. ＝(1.O)+m(O.1)＝(1.m). 由A.B.C三点共线.即∥. 故1·m-1·(-2)＝O解得m＝-2 ∴当m＝-2时.A.B.C三点共线 评述: (1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式.但其本质是一样的.在运用中各有特点.解题时可灵活选择 (2)本题是存在探索性问题.这类问题一般有两种思考方法.即假设存在法--当存在时,假设否定法--当不存在时

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_3740273[举报]