Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，且侧棱PA⊥底面ABCD．

(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论；

(2)当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD需垂直平面PAC内的两条相交直线．易知BD⊥PA，于是问题归结为当a为何值时，BD⊥AC，从而知矩形ABCD为正方形． 　　(1)解：当a＝2时，四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC． 　　因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD， 　　所以BD⊥PA． 　　又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC． 　　故当a＝2时，BD⊥平面PAC． 　　(2)证明：当a＝4时，取BC的中点M，AD的中点N，连接AM，DM，MN． 　　因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形， 　　所以∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°， 　　即DM⊥AM． 　　因为PA⊥平面ABCD，DM平面ABCD， 　　所以PA⊥DM． 　　又AM∩PA＝A，所以DM⊥平面PAM． 　　又PM平面PAM，所以PM⊥DM． 　　故当a＝4时，取BC的中点M，可使得PM⊥DM． 　　点评：在解立体几何问题时，要注意有关平面几何知识的运用．事实上，通过转化，立体几何问题最终还是在一个或几个平面中得以解决的．