摘要：9．已知数列{an}中.a1=.Sn=n2·an (Ⅰ)求a2.a3.a4的值, (Ⅱ)推测数列{an}的通项公式.并用数学归纳法加以证明, 解:(Ⅰ)a1=. ∵S2=4a2.即+a2=4a2. ∴ a2=, ∵ S3=9a3.即++a3=9a3. ∴ a3=, ∵ S4=16a4.即+++a4=16a4. ∴ a4=. (Ⅱ)猜想an=.证明如下: 当n=1时.a1==.结论成立. 假设n=k时成立.即ak=. 即 Sk=a1+a2+a3+-+ak=1-=. 由 Sk+1=(k+1)2·ak+1.即Sk+ak+1=(k+1)2ak+1. 得 ak+1==. 说明当n=k+1时.结论也成立. 综合上述.可知对一切n∈N.都有an=. 法二:, 相减得, 连乘法可得:
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已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n（n∈N+），
（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设bn=an-n2+n（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在常数c，使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设cn=
，Tn=c1+c2+…+c3，证明
＜Tn＜
（n≥2）．
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（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设bn=an-n2+n（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在常数c，使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设cn=
| 1 |
| an+n-2n-1 |
| 6n |
| (n+1)(2n+1) |
| 5 |
| 3 |
已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n（n∈N+），
（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设bn=an-n2+n（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在常数c，使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设cn=
，Tn=c1+c2+…+c3，证明
＜Tn＜
（n≥2）．
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（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设bn=an-n2+n（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在常数c，使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设cn=
| 1 |
| an+n-2n-1 |
| 6n |
| (n+1)(2n+1) |
| 5 |
| 3 |
已知数列{an）中，a1=
，且an+1=
an+
（n∈N*）
（1）令bn=2nan，求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn=an-
，求数列{cn}的前n项和Sn．
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| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2n+3 |
| 2n+1 |
（1）令bn=2nan，求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn=an-
| n2-2 |
| 2n |
）n-1(n∈N*且n≥3，其中c1=1，c2=-
；