已知函数

（I）     讨论f（x）的单调性；

（II）   设f（x）有两个极值点若过两点的直线I与x轴的交点在曲线上，求α的值。

【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间。另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用。

【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，，这一点对于同学们来说没有难度但是解决的关键还是要看导数的符号的实质不变，求解单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。

（1）

（本小题满分12分）

设函数在区间D上的导函数为在区间D上的导函数为 若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m是常数，

   （I）若在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；

   （II）若对满足的任何一个实数m，函数在区间（a，b）上都为“凸函数”求b-a的最大值.

（本小题满分12分）

设函数在区间D上的导函数为在区间D上的导函数为 若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m是常数，

   （I）若在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；

   （II）若对满足的任何一个实数m，函数在区间（a，b）上都为“凸函数”求b-a的最大值.

已知函数,,k为常数，e是自然对数的底数).

(I)当k=1时，求f(x)的最小值；

(II)探求是否存在整数k使得f(X)在区间上的图象均在第一、二象限？若存在,求出k的最大值；若不存在,请说明理由；

(III)设函数，记，求证：