题目内容
已知函数f(x)=4sinx•sin2(
+
)+cos2x．
（I）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-
，
]上是增函数，求ω的取值范围
（II）若|f（x）-m|＜2成立的充分条件是
≤x≤
，求实数m的取值范围．
| π |
| 4 |
| x |
| 2 |
（I）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（II）若|f（x）-m|＜2成立的充分条件是
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
分析：（1）化简函数 f(x)=4sinxsin2(
+
)+cos2x，然后利用 [-
，
]是函数增区间的子集，解答即可．
（2）先求|f（x）-m|＜2中的m的范围表达式，f（x）-2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）-2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．
| π |
| 4 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（2）先求|f（x）-m|＜2中的m的范围表达式，f（x）-2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）-2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．
解答：解：（I）f(x)=2sinx(1-cos(
+x))+cos2x=1+2sinx…3分
由题意，[-
，
]⊆[-
，
]，
只须
≤
，⇒ω≤
，又ω＞0，
∴ω∈(0，
]，
得ω的取值范围(0，
]…6分
（II）由题意，当
≤x≤
时，
≤sinx≤1，
2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立 …8分
可得（2sinx-1）max＜m＜（2sinx+3）min
当sinx=1时，（2sinx-1）max=1；
当sinx=
时，（2sinx+3）min=4；
∴1＜m＜4…10分．
∴实数m的取值范围1＜m＜4．
| π |
| 2 |
由题意，[-
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2ω |
| π |
| 2ω |
只须
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2ω |
| 3 |
| 4 |
∴ω∈(0，
| 3 |
| 4 |
得ω的取值范围(0，
| 3 |
| 4 |
（II）由题意，当
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立 …8分
可得（2sinx-1）max＜m＜（2sinx+3）min
当sinx=1时，（2sinx-1）max=1；
当sinx=
| 1 |
| 2 |
∴1＜m＜4…10分．
∴实数m的取值范围1＜m＜4．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想，是中档题．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
，则它是（ ）
| ||
| |x-3|-3 |
| A、奇函数 | B、偶函数 |
| C、既奇又偶函数 | D、非奇非偶函数 |