（本题满分14分）

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

（本题满分14分）

设分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设Q为椭圆上异于A、B的点，求证：

（3）设为直线上不同于点（，0）的任意一点， 若直线，分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 

（本题满分14分）

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

(本小题满分14分)  设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

(本题满分14分)

如图1，在平面内，ABCD是的菱形，ADD``A<sub>1</sub>和CD D`C<sub>1</sub>都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D₁ .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．

(Ⅰ) 设二面角E – AC – D₁的大小为q，若£ q £ ，求线段BE长的取值范围；

(Ⅱ)在线段上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有< 1．