(本题满分12分) 如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，当为何值时，．

（本题满分12分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

（本题满分12分）如图所示，在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点。

（I）求三棱锥D₁—ACE的体积；

（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；

（III）求二面角A—D₁E—C的正弦值。

（本题满分12分）

棱长为1的正方体ABCD—A­₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O₁、O₂、O₃分别为平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心.

   （1）求PO₂的长。

   （2）求证：B₁O₃⊥PA；

   （3）求异面直线PO₃与O₁O₂所成的角；

（本题满分12分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，， 是线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．