已知点F₁，F₂为双曲线C：x²-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过圆O上任意一点Q（x₀，y₀）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|；
（3）过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P₁和P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，

15

），且双曲线C的渐近线与圆x²+（y-3）²=4相切．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设F（c，0）是双曲线C的右焦点，M（x₀，y₀）是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ） 求双曲线E的方程；
（Ⅱ）已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使

FP

•

FQ

为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．