Question

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±

3

3

x，且它的一条准线与渐近线y=

3

3

x及x轴围成的三角形的周长是

3

2

(1+

3

)．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为

1

2

的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知双曲线C₁的焦点在x轴上，先假设方程，结合渐近线y=

3

3

x及x轴围成的三角形的周长是

3

2

(1+

3

)，则可求双曲线的标准方程．
（2）联立方程组

x2 4 +y2=1 x=2y+m

消去x得8y2+4my+m2-4=0，由于交于不同的两点，所以△＞0．
由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得

x=x1cosB+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

代入椭圆方程，可求实数m的值．

解答：解：（1）由题意知双曲线C₁的焦点在x轴上，设C₁的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)

b a = 3 3 a2 a2+b2 (1+ 3 3 )

+

1+( 3 3 )2

•

a2

a2+b2

=

3

2

(1+

3

3

)
解得之：

a= 3 b=1

，
∴双曲线的半焦距c=2，椭圆C₂方程为：

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）设点M（x，y）及点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：x-2y-m=0，
联立方程组

x2 4 +y2=1 x=2y+m

消去x得8y2+4my+m2-4=0…（6分）
判断式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0
又m＞0∴0＜m＜2

2

y1y2=

(m2-4)

8

x1x2=(2y1+m)(2y2+m)
=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=

(m2-4)

2

+2m(-

m

2

)+m2=

(m2-4)

2

…（7分）
由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得

x=x1cosB+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

…（8分）
代入椭圆方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²
=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）
即得：sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：
x1x2+4y1y2=

m2-4

2

+4×

m2-4

8

=m2-4=0
∵m∈(0，2

2

)
∴m=2，即满足条件的实数m的值为2   …（12分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，注意设而不求思想的运用．