在等比数列{a_n}中，a₁＞0，n∈N^*，且a₃-a₂=8，又a₁、a₅的等比中项为16．
（1）求数列{a_n}的通公式；
（2）设b_n=log₄a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，是否存在正整数k，使得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜k对任意n∈N^*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说理由．

（2013•杨浦区一模）设数列{x_n}满足x_n≠1且（n∈N^*），前n项和为S_n．已知点p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log

1

2

 xn．
（1）求证：数列{x_n]是等比数列；
（2）若y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得点（t，y_t）和点（s，y_t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q₁，设Q₁在x轴上的投影为P₁，又过P₁做曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影为P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n的横坐标为a_n．
（1）求a₁的值．
（2）求证数列{a_n}是等比数列．
（3）设bn=

16an+13

16an-3

，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|b_M-b_N|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．

设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和，
(1)若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
(2)若有互不相等的正整数p、q、m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
(3)是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1(n∈N*)恒成立？若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由。