摘要：20． 已知抛物线点.抛物线L上存在不同两点A.B满足 (1)求实数p 的取值范围, (2)当p=2时.抛物线L上是否存在点C.使得经过A.B.C三点的的圆和抛物线L在点C处有相同的切线?请写出推理过程. 解:(1)解法1:不妨设.且x1<x2. ∵.∴． ∴．------------------------3分 ∵.即8p>8. ∴p>1.即p的取值范围为．--------------------5分 解法2:设A.B两点的坐标为A(x1, y1),B(x2,y2).且x1<x2． ∵.可得M为AB的中点.即． 显然直线AB与x轴不垂直.设直线AB的方程为y – 2 = k(x – 2). 即y = kx + 2– 2k,----------------------------3分 将y = kx + 2– 2k代入x2 = 2py中.得x2 –2pkx + 4(k –1)p = 0． ∴ ∴ p>1． 故p的取值范围为．-----------------------5分 (2)当p = 2时.由(1)求得A.B的坐标分别为--------6分 假设抛物线L上存在点(t≠0且t≠4).使得经过A.B.C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线． 设经过A.B.C三点的圆的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F =0. 则 整理得t3 + 4(E + 4)t – 16(E + 8) = 0．①----------------8分 ∵函数的导数为. ∴抛物线L在点处的切线的斜率为. ∴经过A.B.C三点的圆N在点处的切线斜率为． ∵t≠0.∴直线NC的斜率存在． ∵圆心N的坐标为. ∴.即t3 + 2(E + 4)t – 4(E + 8) = 0．② ∵t≠0,由①.②消去E.得t3 – 6t2 + 32 = 0--------------12分 即(t – 4)2(t + 2) =0． ∵t≠4.∴t = –2． 故满足题设的点C存在.其坐标为．--------------13分 (也可以构造三次函数只证明存在性)

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