A组：已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

2 3

3

，一条渐近线方程为y=

3

3

x．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，

2

）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
B组：已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

2 3

3

，一条渐近线方程为y=

3

3

x．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，

2

）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且

OA

•

OB

=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

已知椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的范围．
（3）试根据轨迹C₂和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．