Question

A组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
B组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：A（1）由题设知，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+，联立，得4x²+6-3=0，再由弦长公式能求出|AB|．
B（1）由题设知，由此能求出双曲线C的方程．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+，联立，得（3k²+1）x²+6-3=0，由=2，得k²=-．不成立．故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2．
解答：解：A（1）∵双曲线的离心率，
一条渐近线方程为，
∴，解得a²=9，b²=3，
∴双曲线C的方程为．
（2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+，
联立，得4x²+6-3=0，
△=（6）²+4×4×3=120，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，k=tan45°=1，
∴|AB|==．
BA（1）∵双曲线的离心率，
一条渐近线方程为，
∴，解得a²=9，b²=3，
∴双曲线C的方程为．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+，
联立，得（3k²+1）x²+6-3=0，
∵直线l与双曲线c有两个不同交点A和B，
∴△=（6k）²+4×（3k²+1）×3＞0，k∈R．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
y₁y₂=（kx₁+）（kx₂+）=k²x₁x₂+（x₁+x₂）+2
=--+2
=．
∵=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-+==2，
整理，得k²=-．不成立．
故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查直线是否存在的判断．综合性强，难度大，在一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．