已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆C；其长轴长等于4,离心率为．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系的运用。

第一问中，可设椭圆的标准方程为 

则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求椭圆C的标准方程为

第二问中，

假设存在这样的直线,设,MN的中点为

 因为|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;

(ii)下面仅考虑情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范围。

(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为 

则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求椭圆C的标准方程为

 (Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为

 因为|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;

(ii)下面仅考虑情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

则．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是

设椭圆 ：（）的一个顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线  与椭圆 交于 ， 两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线  的方程；若不存在，说明理由；

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。（1）中椭圆的顶点为，即又因为，得到，然后求解得到椭圆方程（2）中，对直线分为两种情况讨论，当直线斜率存在时，当直线斜率不存在时，联立方程组，结合得到结论。

解：（1）椭圆的顶点为，即

，解得， 椭圆的标准方程为 --------4分

（2）由题可知,直线与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．                    --------5分

②当直线斜率存在时，设存在直线为，且，.

由得，       ----------7分

，，               

   = 

所以，                               ----------10分

故直线的方程为或 

即或

已知,是椭圆左右焦点，它的离心率，且被直线所截得的线段的中点的横坐标为

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是其椭圆上的任意一点，当为钝角时，求的取值范围。

【解析】解：因为第一问中，利用椭圆的性质由得   所以椭圆方程可设为：，然后利用

得得    

      椭圆方程为

第二问中，当为钝角时，,    得

所以    得

解：（Ⅰ）由得   所以椭圆方程可设为：

                                       3分

得得    

      椭圆方程为             3分

（Ⅱ）当为钝角时，,    得   3分

所以    得

设椭圆（常数）的左右焦点分别为，是直线上的两个动点，．

（1）若，求的值；

（2）求的最小值．

【解析】第一问中解：设，则

由得    由，得

  ② 

第二问易求椭圆的标准方程为：

，

所以，当且仅当或时，取最小值．

解：设， ……………………1分

则，由得     ①……2分

（1）由，得  ②   ……………1分

    ③    ………………………1分

由①、②、③三式，消去，并求得． ………………………3分

（2）解法一：易求椭圆的标准方程为：．………………2分

， ……4分

所以，当且仅当或时，取最小值．…2分

解法二：， ………………4分

所以，当且仅当或时，取最小值