摘要：3．直线与平面所成的角要“抓住 直线在平面内的射影.然后在直角三角形内求得,直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值.线面角的范围:[00.900]. [举例1] 在如图3-1所示的几何体中.平面. 平面..且.是的中点．求与平面所成的角． 解析:方法一:“找射影 .过M作MF⊥ED于F.连CF. 由CM⊥AB.CM⊥AE得CM⊥面ABDE.故CM⊥ED. ∴ED⊥面CMF.于是有面CED⊥面CMF于CF.过M作MH⊥CF 于H.则MH⊥面CED.∴∠MCH为与平面所成的角, 设.. 在直角梯形中. .是的中点. 所以... 得是直角三角形.其中.∴MF= 在中.CM=MF.∴ .故与平面所成的角是． 注:“作垂面 是求作点M在面内的射影的最重要.最常用的方法.其过程是:过M点作平面⊥于.则M在面内的射影M/∈. 方法二:“建系 .如图.以点为坐标原点.以. 分别为轴和轴.过点作与平面垂直的直线为 轴.建立直角坐标系.设.则. .．.． 设向量与平面垂直. 则..即n·=0 , n·=0,∵.. 得:..即.由向量夹角公式得:cos< n,>=, 直线与平面所成的角是与夹角的余角.所以. 故直线与平面所成的角是． 注:线与面的法向量所成的角与线面角互余,注意到线面角不为钝角.故:AB与面所成的角为:arcsin(为面的法向量).用法向量求线面角.以计算代替说理.最大限度地实现了“去逻辑化 .为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径,但是.并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系. [举例2]如图3-1.在四棱锥P-ABCD中.底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD.且PA＝AD=AB=2BC,M.N分别为PC.PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角. 解析:确定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难.方法一:“射影悬空 .先不管Q点的位置.∠CDQ为CD与平面ADMN所成的角.入图3-2,记BC=a,在Rt⊿CQD中.CD=a,只需求出CQ即可.记为h,注意到.不难知道 ⊿AMD中AD边上的高为AN.AN=a,∴=a2,=2a2.M到面ACD的距离为a. ∴h=a,故在Rt⊿CQD中.∠CDQ= arcsin.注:射影“悬空 求线面角的“革命 性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步--确定射影的位置.把问题化归为求点到面的距离,而求点到面的距离可以通过“等积转换 实现.并不需要知道射影的确切位置. 方法二:“平移 线段.取AD中点E.连BE.如图3-3.易见:BE∥CD.∴CD与平面ADMN所成的角即BE 与平面ADMN所成的角,不难证明:BN⊥AN.BN⊥AC.∴BN⊥面ADMN.即点B在面ADMN上的射影为N.∠BEN为BE 与平面ADMN所成的角,记BC=a.BN=a.BE=a.在Rt⊿BNE中.∠BEN=arcsin.本题也可以“建系 求.略. [巩固1]太阳光线斜照地面.地面上与太阳光线成600角的直线有 条?若太阳光线与地面成60°角时.要使一根长2米的竹竿影子最长.则竹竿与地面所成的角为 . [巩固2] 在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.AB＝BC.PA=2BC.点O是AC的中点.OP⊥底面ABC．求直线PA与平面PBC所成角的大小．

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