Question

如图，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．

(1)求证：CD⊥平面ADD₁A₁；

(2)若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为，求k的值；

(3)现将与四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的表达式(直接写出答案，不必要说明理由)

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 　　解：(Ⅰ)取CD中点E，连接BE 　　∵AB∥DE，AB＝DE＝3k 　　四边形ABED为平行四边形 　　且BE＝AD＝4k 　　在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝4k，BC＝5k 　　 　　，即BE⊥CD，又，所以CD⊥AD 　　平面ABCD，平面ABCD 　　，又， 　　平面 　　(Ⅱ)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1) 　　所以，， 　　设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由 　　得取y＝2，得n＝(3，2，－6k) 　　设AA1与平面AB1C所成角为，则 　　，解得k＝1．故所求k的值为1 　　(Ⅲ)共有4种不同的方案