题目内容
已知函数f（x）=
x3+ax2+bx，且f′（-1）=0。
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=-1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M （x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1＜m＜x2，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（i）若对任意的t∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（ii）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）。
x3+ax2+bx，且f′（-1）=0。（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=-1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M （x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1＜m＜x2，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（i）若对任意的t∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（ii）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）。
解：（1）依题意，得
由
得
从而
故
令
得
或
①当a>1时，
当x变化时，
与
的变化情况如下表： 
由此得，函数f（x）的单调增区间为
和
，单调减区间为
。
②当
时，
，此时有
恒成立，且仅在
处，
故函数f（x）的单调增区间为R；
③当
时，
，同理可得，函数f（x）的单调增区间为
和
，
单调减区间为
综上：当
时，函数f（x）的单调增区间为
和
，单调减区间为
；
当
时，函数f（x）的单调增区间为R；
当
时，函数f（x）的单调增区间为
和
，单调减区间为
。
（2）（i）由
得
令
得
由（1）得f（x）增区间为
和
，单调减区间为
，
所以函数f（x）在
处取得极值，
故M（
），N（
）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f（x）在点P处切线的斜率之差Kmp-
的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp-
的m正负有着密切的关联；
③Kmp-=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp-
的m就是所求的t最小值。
下面给出证明并确定的t最小值
曲线f（x）在点
处的切线斜率
段MP的斜率Kmp
当Kmp-
=0时，解得
直线MP的方程为
令
当
时，
在
上只有一个零点
，
可判断函数f（x）在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
所以g（x）在
上没有零点，
即线段MP与曲线f（x）没有异于M，P的公共点。
当
时，
，
所以存在
使得
即当
时，MP与曲线f（x）有异于M，P的公共点
综上，t的最小值为2。
（ii）类似（i）于中的观察，可得m的取值范围为
。
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| 2 |
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| ||
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| ||
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| ||
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|