学校体育节拟举行一项趣味运动比赛，选手进入正赛前通过“海选”，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛人数，则优选考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲同学通过项目A、B、C测试的概率分别为

1

4

，

1

3

，

1

2

且通过各次测试的事件相互独立．
（1）若甲同学先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由．
（2）若甲同学按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为P₁，第二项能通过的概率为P₂，第三项能通过的概率为P₃，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用P₁P₂P₃表示）；试说明甲同学按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

（2012•茂名二模）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮．某单位计划在小区内种植A，B，C，D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A，B两棵树的成活的概率均为

1

2

，另外两棵树C，D为进口树种，其成活概率都为a（0＜a＜1），设ξ表示最终成活的树的数量．
（1）若出现A，B有且只有一颗成活的概率与C，D都成活的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列（用a表示）；
（3）若出现恰好两棵树成活的概率最大，试求a的取值范围．

四枚不同的金属纪念币A、B、C、D，投掷时，A、B两枚正面向上的概率为分别为

1

2

，另两枚C、D正面向上的概率分别为a（0＜a＜1）．这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若有2枚纪念币出现正面向上的概率最大，求a的取值范围．

某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．