Question

学校体育节拟举行一项趣味运动比赛，选手进入正赛前通过“海选”，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛人数，则优选考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲同学通过项目A、B、C测试的概率分别为

1

4

，

1

3

，

1

2

且通过各次测试的事件相互独立．
（1）若甲同学先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由．
（2）若甲同学按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为P₁，第二项能通过的概率为P₂，第三项能通过的概率为P₃，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用P₁P₂P₃表示）；试说明甲同学按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

Answer 1

分析：（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；
（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论．

解答：解：（1）依题意，甲同学不能通过海选的概率为（1-

1

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

4

∴甲同学能通过海选的概率为1-

1

4

=

3

4

若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率为（1-

1

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

4

，∴甲同学能通过海选的概率为1-

1

4

=

3

4

（2）ξ的可能取值为1，2，3
P（ξ=1）=p₁，P（ξ=2）=（1-p₁）p₂，P（ξ=3）=（1-p₁）（1-p₂）p₂
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	p1	（1-p1）p2	（1-p1）（1-p2）p2

∴Eξ=p₁+2（1-p₁）p₂+3（1-p₁）（1-p₂）p₂，
∵参加海选测试次数少的选手进入正赛，
∴该同学选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试时，Eξ最小．

点评：本题考查独立事件，考查分布列与期望，确定变量的取值与概率是关键．