Question

四枚不同的金属纪念币A、B、C、D，投掷时，A、B两枚正面向上的概率为分别为

1

2

，另两枚C、D正面向上的概率分别为a（0＜a＜1）．这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若有2枚纪念币出现正面向上的概率最大，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=

1

36

，由此能求出从M中任取一个元素是（3，5）的概率．
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），由此能求出从M中任取一个元素x+y≥10的概率．
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（ξ=2）=

1

36

，P（ξ=3）=

2

36

，P（ξ=4）=

3

36

，P（ξ=5）=

4

36

，P（ξ=6）=

5

36

，P（ξ=7）=

6

36

，P（ξ=8）=

5

36

，P（ξ=9）=

4

36

，P（ξ=10）=

3

36

，P（ξ=11）=

2

36

，P（ξ=12）=

1

36

，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=

1

36

，
所以从M中任取一个元素是（3，5）的概率为

1

36

，
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
则P（C）=

1

6

，所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为

1

6

．
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
P（ξ=2）=

1

36

，P（ξ=3）=

2

36

，P（ξ=4）=

3

36

，P（ξ=5）=

4

36

，P（ξ=6）=

5

36

，P（ξ=7）=

6

36

，
P（ξ=8）=

5

36

，P（ξ=9）=

4

36

，P（ξ=10）=

3

36

，P（ξ=11）=

2

36

，P（ξ=12）=

1

36

，
∴ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	1 36	2 36	3 36	4 36	5 36	6 36	5 36	4 36	3 36	2 36	1 36

∴Eξ=2×

1

36

+3×

2

36

+4×

3

36

+5×

4

36

+6×

5

36

+7×

6

36

+8×

5

36

+9×

4

36

+10×

3

36

+11×

2

36

+12×

1

36

=7．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．注意理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．