已知函数f（x）=lnx+

3

2

x2-mx
（Ⅰ）若函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于

π

3

，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，若存在x₀∈[1，2]，不等式|a+3x₀|-x₀f′（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围；
（III）已知k∈R，讨论关于x的方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在区间[2，4]上的实根个数（e≈2.71828）

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数y=f（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

已知函数f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x₁＜x₂＜1，关于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用证明函数的连续性和可导性）．

已知函数f（x）=ax²+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．
（1）试找出a，b的关系式；
（2）若函数y=f（x）在x∈(0，

1

2

]上不是单调函数，求a的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在x∈(0，

1

2

]的图象上任意一点处的切线斜率k的最大值．