Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数y=f（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设在所求函数图象上任意一点为P（x，y），则点（-x，-y）在函数y=f（x）的图象上，代入函数y=f（x）的解析式，化简整理可求出所求．
（2）要使当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，只需将m分离出来对0≤x＜1恒成立即m≤(loga

1+x

1-x

)min，然后求出(loga

1+x

1-x

)min=loga1=0，从而求出m的范围．

解答：解：（1）设函数y=g（x）的图象上任意一点为P（x，y），则点（-x，-y）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=log_a（-x+1）即y=loga

1

1-x

∴g(x)=loga

1

1-x

；
（2）f(x)+g(x)≥m⇒loga(x+1)+loga

1

1-x

≥m⇒loga

x+1

1-x

≥mloga

x+1

1-x

≥m对0≤x＜1恒成立即m≤(loga

1+x

1-x

)min
当0≤x＜1时，

x+1

1-x

=-1+

2

1-x

∈[1，+∞)
又a＞1
∴(loga

1+x

1-x

)min=loga1=0
∴m≤0．

点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及函数解析式的求解及常用方法，一般在所求曲线上任取一点，求出对称点代入已知曲线从而求出所求曲线解析式，求恒成立问题常常将参数进行分离．