Question

已知函数f（x）=ax²+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．
（1）试找出a，b的关系式；
（2）若函数y=f（x）在x∈(0，

1

2

]上不是单调函数，求a的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在x∈(0，

1

2

]的图象上任意一点处的切线斜率k的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用导数四则运算求函数f（x）的导函数f′（x），再利用极值的意义，列方程即可得a，b的关系式
（2）先将问题转化为f'（x）=0在（0，

1

2

]内有解问题，再解一元二次方程，令根在区间上，解不等式即可得a的范围
（3）先求函数的导函数，再求导函数在（0，

1

2

]上的最大值，利用导数和均值定理，通过分类讨论解决问题

解答：解：（1）f（x）=a x ²+2 b x-2lnx，得f′(x)=2ax+2b-

2

x

，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f'（1）=0，
故2a+2b-2=0，即b=1-a；
（2）因为函数f（x）在x∈（0，

1

2

]上不是单调函数，所以f'（x）=0在（0，

1

2

]内有解，
即ax²+bx-1=0，亦即ax²+（1-a）x-1=0在（0，

1

2

]内有解，
由ax²+（1-a）x-1=0得：x=1，或x=-

1

a

，
所以0＜-

1

a

＜

1

2

，解得：a＜-2；
（3）因为k=f′(x)=2ax+2b-

2

x

=2(ax-

1

x

+1-a)，
①当-4≤a＜0或a＞0时，k′=2(a+

1

x2

)，
因为x∈(0，

1

2

]，所以k'≥0恒成立，
所以k在x∈(0，

1

2

]上单调递增，所以x=

1

2

时，k_max=-a-2；
②当a＜-4时，有0＜

- 1 a

＜

1

2

，所以-ax+

1

x

≥2

-a

，
所以ax-

1

x

≤-2

-a

，此时“=”成立的条件是：x=

- 1 a

，
所以k=2(ax-

1

x

+1-a)≤2(1-a-2

-a

)=2-2a-4

-a

，
综合得：kmax=

-a-2，(-4≤a＜0或a＞0) 2-2a-4 -a ，(a＜-4)

点评：本题综合考查了极值的意义，导数与函数单调性间的关系，利用导数求函数的最值，均值定理及二次函数的应用，分类讨论的思想方法