（本小题共12分）

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是边长为的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.

（1）求证：面A₁AO面BCC₁B₁;

（2）当AA₁与底面成45°角时，求二面角A₁—AC—B的大小；

（3）若D为侧棱AA₁上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁.