摘要：已知函数． (Ⅰ)当时.证明函数只有一个零点, (Ⅱ)若函数在区间上是减函数.求实数的取值范围． 解:(Ⅰ)当时..其定义域是 ∴ ----2分 令.即.解得或． .∴ 舍去． 当时.,当时.． ∴ 函数在区间上单调递增.在区间上单调递减 ∴ 当x =1时.函数取得最大值.其值为． 当时..即． ∴ 函数只有一个零点． --------7分 (Ⅱ)显然函数的定义域为 ∴ ---8分 ① 当时.在区间上为增函数.不合题意--9分 ② 当时.等价于.即 此时的单调递减区间为． 依题意.得解之得． ---11分 ③ 当时.等价于.即 此时的单调递减区间为. ∴ 得 综上.实数的取值范围是 ----14分 法二: ①当时.在区间上为增函数.不合题意--9分 ②当时.要使函数在区间上是减函数.只需在区间上恒成立.只要恒成立. 解得或 综上.实数的取值范围是 ----14分

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