Question

(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.
(1) 求数列及的通项公式;
(2) 求数列的前项和；
(3) 证明存在，使得对任意均成立．

Answer 1

(1)，， (2) 当时，．这时数列的前项和， (3) 存在，使得对任意均成立

(1) 由得： .因为是正整数列,所以.于是是等比数列. 又,, 所以 .                              
因为 ,所以,于是:,说明是以2为公比的等比数列. 所以

因为, 由题设知： ，解得：。
又因为且，所以。
于是。
(2) 由得：.由及得：
设               ①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式, 得

于是,
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
(3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
　　　　               ③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．