设，为的反函数。

   （1）当为自然对数的底数）时，求函数的最小值；

   （2）试证明：当与的图象的公切线为一、三象限角平分线时，。

(12分) 设，为的反函数。

（1）当为自然对数的底数)时，求函数的最小值；

（2）试证明：当与的图象的公切线为一、三象限角平分线时，。

(12分) 设，为的反函数。
（1）当为自然对数的底数)时，求函数的最小值；
（2）试证明：当与的图象的公切线为一、三象限角平分线时，。

（本小题满分12分）已知函数。是的反函数，

（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）若求

（III）当（为自然对数的底数）时，设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。