摘要：20． 设椭圆E: 过M(2.) .N(,1)两点.O为坐标原点. (I)求椭圆E的方程, (II)是否存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在.写出该圆的方程.并求|AB |的取值范围.若不存在.说明理由. 解:(1)因为椭圆E: 过M(2.) .N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且, ①若该圆切线斜率存在.设为.则该圆的切线方程为解方程组得,即, 则△=,即 . 要使,需使,即,所以, 所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,②而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为,所以, , ①当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取 = . ② 当时,. ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即:

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