摘要： 如图.在以点O为圆心.AB为直径的半圆中.D为半圆弧的中点. P为半圆弧上一点.且AB＝4.∠POB＝30°.双曲线C以A.B为焦点且经过点P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系.求双曲线C的方程, (Ⅱ)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E.F. 若△OEF的面积不小于2.求直线l的斜率的取值范围. [解](Ⅰ)方法一:以O为原点.AB.OD所在直线分别 为x轴.y轴建立平面直角坐标系.则 点A.P(.1). 设双曲线实半轴长为a.虚半轴长为b.半焦距为c.则 2a＝|PA|-|PB|＝.2c＝|AB|＝4. 所以a＝.c＝2.从而b2＝c2-a2＝2. 故双曲线C的方程是. 方法二:以O为原点.AB.OD所在直线分别为x轴.y轴建立平面直角坐标系.则 点A.P(.1). 设双曲线C的方程为＞0.b＞0).则. 解得a2＝b2＝2.故双曲线C的方程是 (Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2.代入双曲线C的方程得..即 (1-k2)x2-4kx-6＝0. 因为直线l与双曲线C相交于不同两点E.F.则 即 设点E(x1.y1).F(x2.y2).则x1+x2＝. 所以|EF|＝ ＝ 又原点O到直线l的距离d＝. 所以S△DEF= 因为S△OEF.则 综上分析.直线l的斜率的取值范围是[-.-1)(1.].
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（福建卷理）（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C： 
+
=1（y
0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线
过点B,且与
轴垂直，S为上
异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧
的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在
,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 
（2009福建卷理）（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C： 
+
=1（y
0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线
过点B,且与
轴垂直，S为上
异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧
的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在
,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 
（2009福建卷理）（本小题满分13分）
已知A,B 分别为曲线C： 
+
=1（y
0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线
过点B,且与
轴垂直，S为上
异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧
的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在
,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
，求直线l斜率的取值范围。
，求直线l斜率的取值范围。