摘要： 在等腰梯形ABCD中.E.F分别是CD.AB中点.CD＝2.AB＝4.AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起.使得∠AFB＝60°.如图. (Ⅰ)若G为FB的中点.求证:AG⊥平面BCEF, (Ⅱ)求二面角C-AB-F的正切值. [解](Ⅰ)因为AF＝BF.∠AFB＝60°.△AFB为等边三角形. 又G为FB的中点.所以AG⊥FB. 在等腰梯形ABCD中.因为E.F分别是CD.AB的中点. 所以EF⊥AB.于是EF⊥AF.EF⊥BF.则EF⊥平面ABF. 所以AG⊥EF. 又EF与FB交于一点F.所以AG⊥平面BCEF. (Ⅱ)解法一:连接CG.因为在等腰梯形ABCD中. CD＝2.AB＝4.E.F分别是CD.AB中点. 所以EC＝FG＝BG＝1.从而CG∥EF. 因为EF⊥面ABF.所以CG⊥面ABF. 过点G作GH⊥AB于H.连结CH.据三垂线定理有CH⊥AB.所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角. 因为Rt△BHG中.BG＝1.∠GBH＝60°.所以GH＝. 在Rt△CGB中.CG⊥BG.BG＝1.BC＝.所以CG＝1. 在Rt△CGH中.tan∠CHG＝＝.故二面角C-AB-F的正切值为. 解法二:如图所示建立空间直角坐标系.由已知可得. 点B.A(1.0.).C. 因为EF⊥平面ABF.所以＝为 平面ABF的一个法向量. 设＝为平面ABCD的法向量. 因为.. 由..得 . 即. 令.则.z＝1.所以＝(..1). 所以cos<.>＝＝. 从而tan<.>＝.故二面角C-AB-F的正切值为.

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