Question

（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA=2,  E、E分别是棱AD、AA的中点。

（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE//平面FCC；

（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。

Answer 1

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

解析:

证明：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，连接A₁D，C₁F₁，CF₁。

因为AB=4，CD=2，且AB//CD，所以CD//A₁F₁，且CD=A₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D。

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC。

（2）连接AC，在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以CC₁⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，

 F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

，△ACF为等腰三角形，且，

所以AC⊥BC，又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C，

所以AC⊥平面BB₁C₁C，而平面D₁AC，

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。