摘要：.解:设.作.则.为二面角的平面角 .结合等边三角形 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥.则 , 故所成角的余弦值 ⒘解法一:(Ⅰ)取中点.连结．.．.． .平面．平面.． (Ⅱ)..．又.． 又.即.且.平面．取中点．连结． .．是在平面内的射影.． 是二面角的平面角．在中....．二面角的大小为． 知平面.平面平面．过作.垂足为． 平面平面.平面．的长即为点到平面的距离． 由(Ⅰ)知.又.且.平面．平面.． 在中... ．． 点到平面的距离为． 解法二:(Ⅰ)..．又.． .平面．平面.． (Ⅱ)如图.以为原点建立空间直角坐标系．则． 设．..．取中点.连结． ...．是二面角的平面角． ... ．二面角的大小为． (Ⅲ).在平面内的射影为正的中心.且的长为点到平面的距离． 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系．.点的坐标为．． 点到平面的距离为． ⒙证明:(Ⅰ)取CD中点M.连结OM.在矩形ABCD中..又.则. 连结EM.于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE. EM平面CDE.∴ FO∥平面CDE 和已知条件.在等边△CDE中.且. 因此平行四边形EFOM为菱形.从而EO⊥FM而FM∩CD=M. ∴CD⊥平面EOM.从而CD⊥EO. 而.所以EO⊥平面CDF. ⒚证明:(1)建立如图所示的坐标系.则... 所以.故..共面．又它们有公共点.所以四点共面． (2)如图.设.则.而.由题设得. 得．因为..有.又..所以..从而.．故平面． (3)设向量截面.于是.． 而..得..解得..所以．又平面.所以和的夹角等于或(为锐角)． 于是． 故． ⒛解析:法1(1)∵AE⊥面AA1DD1.A1D⊥AD1.∴A1D⊥D1E (2)设点E到面ACD1的距离为h.在△ACD1中.AC=CD1=.AD1=. 故 (4) 过D作DH⊥CE于H.连D1H.DE.则D1H⊥CE. ∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角. 设AE=x.则BE=2-x 法2:以D为坐标原点.直线DA.DC.DD1分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.设AE=x.则A1.D1.A (2)因为E为AB的中点.则E.从而.. 设平面ACD1的法向量为.则也即.得. 从而.所以点E到平面AD1C的距离为 (3)设平面D1EC的法向量. ∴ 由 令b=1, ∴c=2, a=2-x. ∴依题意 ∴. .∴AE=时.二面角D1-EC-D的大小为.

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