一种计算装置，有一个数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序．（1）当从A口输入自然数1时，从B口得到实数

1

3

，记为f（1）=

1

3

；（2）当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一结果f(n-1)的

2(n-1)-1

2(n-1)+3

倍．当从A口输入3时，从B口得到 ______；要想从B口得到

1

2303

，则应从A口输入自然数 ______．

（2010•成都一模）已知函数f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e为自然对数的底数．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）证明：对任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）当a=0时，设g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]，n∈N*，证明：对ε∈（0，1），当n＞

e2-2

ε

时，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε总成立．

（2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2

2 x

1-x

，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是f（x）图象上两点．
（1）若x₁+x₂=1，求证：y₁+y₂为定值；
（2）设Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N*且n≥2，求T_n关于n的解析式；
（3）对（2）中的T_n，设数列{a_n}满足a₁=2，当n≥2时，a_n=4T_n+2，问是否存在角a，使不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

sinα

2n+1

对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．