已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*，λ为常数），且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}满足b_n=

n2

an+3

，证明：b_n≤

9

16

．

数列{a_n}中，a₁=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；
（3）设数列{b_n}满足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n为数列{b_n}的前n项和．证明：n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

（2010•崇明县二模）已知函数f(x)=5-

6

x

，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，都有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{b_n}满足b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

．求证：当a为数列{b_n}中的任意一项时，数列{a_n}必有相应一项的值为1．

（2013•嘉定区一模）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）写出一个正整数m，使得

1

am+9

是数列{b_n}的项；
（3）设数列{c_n}的通项公式为cn=

an

an+t

，问：是否存在正整数t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对（t，k）；若不存在，请说明理由．