Question

数列{a_n}中，a₁=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；
（3）设数列{b_n}满足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n为数列{b_n}的前n项和．证明：n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（2）设a_n+1=2a_n-n²+3n，可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），利用条件，即可求λ、μ的值；
（3）确定数列的通项，利用放缩法，即可证明结论．

解答：（1）解：∵a₁=1，an+1=2an-n2+3n，
∴a₂=2a₁-1+3=4，a₃=2a₂-4+6=10；
（2）解：设a_n+1=2a_n-n²+3n，可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，
∴λ=-1，μ=2
又a₁+1²+1≠0
故存在λ=-1，μ=1  使得数列{an+λn²+μn}是等比数列；
（3）证明：由（2）得a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1
∴a_n=2^n-1+n²-n，
∴bn=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

∵

1

n2

＜

2

2n-1

-

2

2n+1

∴n≥2时，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+（

2

3

-

2

5

）+…+（

2

2n-1

-

2

2n+1

）=1+

2

3

-

2

2n+1

证明Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

当n=2时，S_n=b₁+b₂=1+

1

4

=

5

4

而当n≥3时，由bn=

1

n2

＞

1

n

-

1

n+1

得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞

n

n+1

由2n+1＞6，得1＞

6

2n+1

∴Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

对于n≥2，n∈N^*都成立，
∴n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，列出等比数列的判定，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．