Question

已知数列{a_n}满足an=

n

n-1

an-1-

1

3

n•(

2

3

)n(n≥2，n∈N*)，首项为a1=

4

9

；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

n-an

3n-2an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

；
（3）设数列{c_n}满足c1=

1

2

，cn+1=

( 2 3 )k+1

ak

•

c

2 n

+cn，其中k为一个给定的正整数，
求证：当n≤k时，恒有c_n＜1．

Answer 1

分析：（1）将题中已知条件化简便可求出

an

n

与

an-1

n-1

的关系，进而求得a_n的通项公式；
（2）由（1）中求得的a_n的通项公式便可求出b_n的通项公式，进而写出前n项和T_n的表达式，即可证明；
（3）根据题中已知条件可知c_n为递增数列，然后证明ck＜1即可证明：当n≤k时，恒有c_n＜1．

解答：解：（1）由已知可得：

an

n

=

an-1

n-1

-

1

3

(

2

3

)n(n≥2)，
即

an

n

-

an-1

n-1

=-

1

3

(

2

3

)n（n≥2），
由累加法可求得：

an

n

=(

2

3

)n+1，
即an=n(

2

3

)n+1(n≥2)，
又n=1也成立，
∴an=n(

2

3

)n+1(n∈N*)（4分）；
（2）bn=

n-an

3n-2an

=

1- an n

3-2 an n

=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

，
先证bn＜

1

3

由bn＜

1

3

?

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＜

1

3

?1-(

2

3

)n+1＜1-

2

3

•(

2

3

)n+1?

1

3

•(

2

3

)n+1＞0，
此式显然成立，
∴Tn=b1+b2++bn＜

n

3

（6分）
又b_n=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]，
∴Tn=b1+b2++bn＞

1

3

[n-(

2

3

)2-(

2

3

)3--(

2

3

)n+1]=

1

3

[n-

4

3

(1-(

2

3

)n]＞

1

3

[n-

4

3

]=

3n-4

9

即

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．
（3）由题意知：Cn+1=

1

k

C

2 n

+Cn＞Cn，
∴{C_n}为递增数列
∴只需证：C_k＜1即可
若k=1，则C1=

1

2

＜1显然成立；
若k≥2，则Cn+1=

1

k

C

2 n

+

C

n

＜

1

k

C

n

C

n+1

+

C

n

，即

1

Cn+1

-

1

Cn

＞-

1

k

，
因此

1

Ck

=(

1

Ck

-

1

Ck-1

)++(

1

C2

-

1

C1

)+

1

C1

＞-

k-1

k

+2=

k+1

k

，
∴Ck＜

k

k+1

＜1
∴故n≤k时，恒有C_n＜1（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．