正项数列{a_n}的前n项和为S_n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若互不相等的正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k，2S_m的大小；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，求证：

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

设正项数列{a_n}的前项和为S_n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
（1）求证数列{a_n}是等比数列； 
（2）若正整数n，m，k成等差数列，求证：

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

（2012•西城区二模）若正整数N=a1+a2+…+an (ak∈N*，k=1，2，…，n)，则称a₁×a₂×…×a_n为N的一个“分解积”．
（Ⅰ）当N分别等于6，7，8时，写出N的一个分解积，使其值最大；
（Ⅱ）当正整数N（N≥2）的分解积最大时，证明：ak (k∈N*)中2的个数不超过2；
（Ⅲ）对任意给定的正整数N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．

已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n项和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）设an=(

1

3

)n，T_n是{a_n}的前n项和，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，不等式Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
（3）判断方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，说明理由．

已知等差数列{a_n}的首项为a（a∈R，a≠0）．设数列的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有

a2n

an

=

4n-1

2n-1

．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）是否存在正整数n和k，使得S_n，S_n+1，S_n+k成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．