Question

已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n项和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）设an=(

1

3

)n，T_n是{a_n}的前n项和，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，不等式Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
（3）判断方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，确定数列的首项与公差，即可求{x_n}的通项公式；
（2）由Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立，可得λ2+λ(2k-1)2≥

1

2

，根据λ＞0，可得(2k-1)2≥

1 2 -λ2

λ

，从而可得λ的取值范围；
（3）分类讨论，利用三角函数的值域，即可得到结论．

解答：解：（1）设等差数列{x_n}的公差为d
由x₃=5，S₅+x₅=34，可得

x1+2d=5 6x1+14d=34

，∴

x1=1 d=2

，∴x_n=2n-1
（2）由Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立，则

1

2

[1-(

1

3

)n]-λ(2k-1)2＜λ2恒成立
即λ2+λ(2k-1)2＞

1

2

[1-(

1

3

)n]max，即λ2+λ(2k-1)2≥

1

2

，
又λ＞0，所以(2k-1)2≥

1 2 -λ2

λ

因为[(2k-1)2]max≥

1 2 -λ2

λ

=1，所以1≥

1 2 -λ2

λ

，即λ2+λ-

1

2

≥0，故λ≥

3 -1

2

（3）sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n，由于xn=2n-1，Sn=n2，
则方程为：sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²
①n=1时，sin²1+cos1=0无解；
②n=2时，sin²3+3cos3+1=4，所以cos²3-3cos3+2=0，所以cos3=1或cos3=2无解；
③n≥3时，sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+（2n-1）+1=2n+1＜n²
所以sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²无解
综上所述，对于一切正整数原方程都无解．

点评：本题考查等差数列的通项，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．