Question

设正项数列{a_n}的前项和为S_n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
（1）求证数列{a_n}是等比数列； 
（2）若正整数n，m，k成等差数列，求证：

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

Answer 1

分析：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．所以当n≥2时：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，由此能够证明{a_n}是等比数列． 
（2）若q=1，则S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．所以

1

Sn

+

1

Sk

=

n+k

nka1

=

2m

nka1

≥

2m

( n+k 2 )2•a1

=

2m

m2a1

=

2

ma1

=

2

Sm

．若q≠1，则Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Sm=

a1(1-qm)

1-q

，Sk=

a1(1-qk)

1-q

．所以

1

Sn

+

1

Sk

≥2

1 SnSk

=2

(1-q)2 (1-qn)(1-qk)a12

．由此能够证明

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

解答：证明：（1）因为对任意正整数n，m，
当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
所以当n≥2时：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，
即a_n=a₁•q^n-1，且a₁也适合，又a_n＞0，
故当n≥2时：

an

an-1

=q（非零常数），
即{a_n}是等比数列．  …（6分）
（2）若q=1，则S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．
所以

1

Sn

+

1

Sk

=

n+k

nka1

=

2m

nka1

≥

2m

( n+k 2 )2•a1

=

2m

m2a1

=

2

ma1

=

2

Sm

．    …（8分）
若q≠1，则Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Sm=

a1(1-qm)

1-q

，Sk=

a1(1-qk)

1-q

．  …（10分）
所以

1

Sn

+

1

Sk

≥2

1 SnSk

=2

(1-q)2 (1-qn)(1-qk)a12

．          …（12分）
又因为（1-qⁿ）（1-q^k）=1-（qⁿ+q^k）+q^n+k
≤1-2

qn+k

+qn+k=1-2qm+q2m=(1-qm)2．
所以

1

Sn

+

1

Sk

≥2

1 SnSk

=2

(1-q)2 (1-qn)(1-qk)a12

≥2

(1-q)2 (1-qm)2•a12

=

2

Sm

．
综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，
不等式 

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

总成立．
（当且仅当n=m=k时取“=”）  …（16分）

点评：本题考查数列的递推公式的应用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．