已知函数fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较

1

en+1+e•n

+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N．
（I）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（I）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列

1

bnbn+1

的前n项和，求T₂₀₁₂的值．

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，n∈N*则数列{a_n}的通项公式是a_n=．