已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为，
(Ⅰ)求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
(Ⅱ)对给定的k（k=1，2，3，…，n），设T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列。求数列T^（2）的前10项之和；
(Ⅲ)设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n，并求正整数m（m＞1），使得存在且不等于零。
（注：无穷等比数列各项的和即当n→∞时该无穷数列前n项和的极限）