摘要：∴ ① ①式两端同乘以2.得

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若数列an=(2n-1)×2n，求其前n项和为Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n时，可对上式左、右的两边同乘以2，得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，两式相减并整理后，求得Sn=(2n-3)×2n+1+6．试类比此方法，求得bn=n2×2n的前n项和Tn=
（n2-2n+3）×2n+1-6
（n2-2n+3）×2n+1-6
．
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数列首项，前项和满足等式（常数，……）

（1）求证：为等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列使 （……），求数列的通项公式.

（3）设，求数列的前项和.

【解析】第一问利用由得

两式相减得

故时，

从而又  即，而

从而  故

第二问中，     又故为等比数列，通项公式为

第三问中，

两边同乘以

利用错位相减法得到和。

（1）由得

两式相减得

故时，

从而   ………………3分

又  即，而

从而  故

对任意，为常数，即为等比数列………………5分

（2）    ……………………7分

又故为等比数列，通项公式为………………9分

（3）

两边同乘以

………………11分

两式相减得

 

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计算
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
，可以采用以下方法：构造恒等式
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x2+…+
C
n
n
xn=(1+x)n，两边对x求导，得
C
1
n
+2
C
2
n
x+3
C
3
n
x2+…+n
C
n
n
xn-1=n(1+x)n-1，在上式中令x=1，得
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
=n•2n-1．类比上述计算方法，计算
C
1
n
+22
C
2
n
+32
C
3
n
+…+n2
C
n
n
=
n（n+1）•2n-2
n（n+1）•2n-2
．
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一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是
40.6，1.1
40.6，1.1
．
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（2012•葫芦岛模拟）我们常用以下方法求形如y=f（x）g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：
1
y
•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•
1
f(x)
•f′（x），于是得到：y′=f（x）g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）•
1
f(x)
•f′（x）]，运用此方法求得函数y=x
1
x
的一个单调递增区间是（　　）
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