Question

如图，在长方体中，分别是的中点，分
的中点，

（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱锥的体积。

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为 ；
（Ⅲ） 。

本试题主要是考查了立体几何中线面平行的证明，以及二面角的求解和锥体体积的计算的综合运用。
（1）利用线面平行的判定定理可知找到线线平行，从而得到结论。
（2）建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，运用向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小
（3）根据锥体体积的公式，利用底面积和高度来求解得到。
解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，

则：
∵分别是的中点
∴
（Ⅰ）
取，显然面
，∴
又面 ∴面           。。。。。。。。。。。
（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵
设，则
又
由，及在直线上，可得:
解得
∴ ∴  即
∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的余弦值为                   。。。。。
（Ⅲ）设为平面的法向量，则
又
∴   即   ∴可取
∴点到平面的距离为
∵， 
∴
∴           。。。。。。