摘要：8．已知函数f(x)=x3-x2+ + , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0. 是R上的单调增函数, (II)设x1=0, xn+1=f(xn),y1=, yn+1=f(yn), 其中 n=1,2,-. 证明:xn<xn+1<x0<yn+1<yn; (III)证明: < 解: (I)∵f '(x)=3x2-2x+ = 3(x-)2+ >0 . ∴f(x)是R上的单调增函数． (II)∵0<x0< . 即x1<x0<y1．又f(x)是增函数. ∴f(x1)<f(x0)<f(y1)．即x2<x0<y2． 又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1. y2=f(y1)=f()=<=y1.综上. x1<x2<x0<y2<y1． 用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时.上面已证明成立． (2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk ． 当n=k+1时.由f(x)是单调增函数.有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk). ∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1 由知对一切n=1.2.-.都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn． (III) = = yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2-(yn+xn)+ =[(yn+xn)-]2+ ． 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1．∴- < yn+xn- < . ∴ < ()2+ = [文]已知集合A＝.B＝. (1)当a＝2时.求AB, (2)求使BA的实数a的取值范围. 解:(1)当a＝2时.A＝(2.7).B＝(4.5)∴ AB＝(4.5). (2)∵ B＝(2a.a2+1).当a＜时.A＝(3a+1.2) 要使BA.必须.此时a＝-1, 当a＝时.A＝.使BA的a不存在, 当a＞时.A＝(2.3a+1)要使BA.必须.此时1≤a≤3. 综上可知.使BA的实数a的取值范围为[1.3]∪{-1}
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(x0)＝
．试用这个结论证明：若－1＜x1＜x2，函数g(x)＝
(x－x1)＋f(x1)，则对任意x∈(x1，x2)，都有f(x)＞g(x)；已知函数f(x)＝x3－x2＋
，且存在x0∈(0，
)，使f(x0)＝x0．
(1)证明f(x)是R上的单调增函数；
(2)设x1＝0，xn+1＝f(xn)，y1＝，yn+1＝f(yn)，其中n＝1，2，…，证明xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；
(3)证明
．
已知函数f（x）=x3+
x2+ax+b,g（x）=x3+
x2+ 1nx+b，（a，b为常数）．
（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx－5（k为常数），求b的值；
（2）设函数f（x）的导函数为
，若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．
x2+ax+b,g（x）=x3+
x2+ 1nx+b，（a，b为常数）．
x2+ax+b,g（x）=x3+
x2+ 1nx+b，（a，b为常数）．