设f₁(x)＝x²－b，f₂(x)＝(a，b∈R)，且f₂(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减．

(1)求a、b之间的关系式；

(2)当b＞3时，是否存在实数m，使得函数f(x)＝f₁²(x)(x)－m²x在区间(0，＋∞)上为单调函数？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知函数是奇函数，且满足f(1)＝f(4)

(Ⅰ)求实数a、b的值；

(Ⅱ)试证明函数f(x)在区间(0，2]单调递减，在区间(2，＋∞)单调递增；

(Ⅲ)是否存在实数k同时满足以下两个条件：

①不等式对x∈(0，＋∞)恒成立；

②方程f(x)＝k在x∈[－6，－1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．