Question

设f₁(x)＝x²－b，f₂(x)＝(a，b∈R)，且f₂(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减．

(1)求a、b之间的关系式；

(2)当b＞3时，是否存在实数m，使得函数f(x)＝f₁²(x)(x)－m²x在区间(0，＋∞)上为单调函数？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝． 　　因为当x≤1时，(x)≥0， 　　当1≤x≤3时，(x)≤0， 　　所以(1)＝0，即1＋2a＋b＝0． 　　(2)f(x)＝f12(x)(x)－m2x＝x2＋2ax＋b－m2x＝x2＋(2a－m2)x＋b， 　　其增区间为[，＋∞)， 　　这与(1)式中结论矛盾，所以不存在这样的实数m． 　　思路分析：由题意知，函数f2(x)在x＝1上取得极大值，即(1)＝0，可由(x)＝0求出a、b间的关系，化简f(x)，观察函数f(x)的特点，利用其在(0，＋∞)上是单调函数求解．